Impedanzanpassung mit L-Netzwerken

L-Netzwerke

Im Zuge des Antennenumbaus stand auch die Überprüfung des Antennentuners an, da die Anpassung nicht auf Anhieb für alle Bänder gelang. Die Frage war, mit welchen der vier möglichen Kombinationen von L und C in dem einfachen L-Netzwerk des ATU eine Anpassung der Antenne mit den frequenzabhängigen Impedanzen Z = R+jX an den 50 Ω Ausgangswiderstand des TRX möglich ist.

Die Dinger heißen "L-Netzwerke" wegen ihres Aufbaus in Form eines "L". Daneben gibt es noch dreibeinige "Pi"- und "T"-Netzwerke in Form eines "π" bzw. "T". Vorteil eines L-Netzwerkes ist die Eindeutigkeit, d.h. es ist nur eine beste Anpassung möglich.

Im Internet gibt es hierzu eigentlich genügend Online-Rechner. Es war aber eine tabellarische Gesamtübersicht gewünscht. Klar, dafür muss Excel mal wieder herhalten. Da G3YNH hier freundlicherweise schon vorgearbeitet hat [1], wurde sein Spreadsheet smallgarden.ods (Link in [1]) umgestaltet und etwas leserlicher gestrafft.

1 Berechnungsgrundlagen

G3YNH leitet die notwendigen Formeln Schritt für Schritt für zwei Grundkonfigurationen ab:

XpXs-Konfigurationen "XpXs", Eine Reaktanz (L oder C) liegt parallel zur Last ("hinten"=Antenne), ergibt
einen Tiefpass (links) oder einen Hochpass (rechts)
XsXp-Konfiguration "XsXp", Eine Reaktanz (L oder C) liegt parallel zur Quelle ("vorne"=TRX), ergibt
einen Tiefpass (links) oder einen Hochpass (rechts)

Index "s" = seriell, Index "p" = parallel.

1.1 XpXs-Konfiguration (Parallelreaktanz "hinten" an der Last)

Formel 2.5a Formel 2.5a
oder  
Formel 2.5b Formel 2.5b
und  
Formel 2.6 Formel 2.6

Als Lösung einer quadratischen Gleichung ergeben sich zwei Lösungen für Xp, mithin auch für Xs, da hier Xp eingeht.

1.2 XsXp-Konfiguration (Parallelreaktanz "vorne" an der Quelle)

Auch hier ergeben sich zwei Lösungen

formel 3.5a Formel 3.5a
oder  
Formel 3.5b Formel 3.5b
mit  
Formel U  

Für die XpXs- und die XsXp-Konfiguration sind damit je vier Ergebnisse möglich, von denen allerdings vier wegfallen, da nach Konvention die kapazitive Reaktanz negativ und die induktive Reaktanz positiv ist. Gleiche Vorzeichen sind nicht möglich.

  XpXs-Konfiguration XsXp-Konfiguration
Xp > 0
Xs > 0
Entfällt wegen gleichen Vorzeichens
von Xs und Xp
Entfällt wegen gleichen Vorzeichens
von Xs und Xp
Xp > 0
Xs < 0
XpXs Highpass XsXp Highpass
Xp < 0
Xs > 0
XpXs Lowpass XsXp Lowpass
Xp < 0
Xs < 0
Entfällt wegen gleichen Vorzeichens
von Xs und Xp
Entfällt wegen gleichen Vorzeichens
von Xs und Xp

1.3  Spannungen und Ströme im LC-Netzwerk

Zur Überprüfung des vorhandenen Antennentuners stellte sich dann doch noch die Frage, ob die Spannungsfestigkeit der dort eingesetzten WIMA FKP1-Kondensatoren in allen Anpassungssituationen ausreicht. Hier die Berechnungsgrundlagen dazu.

Zunächst die zugrunde liegenden Formeln

P = U2 / R P = I2*R Wirkleistung, verbraucht sich nur an Wirkwiderständen (ohmschen Widerständen, Strahlungswiderstand der Antenne, Strom und Spannung in Phase)
U = √(P*R) I = √(P / R) Daraus abgeleitet Spannung und Strom
Z = R + j*X   Komplexe Impedanz der Antenne
|Z| = √(R2 + X2)   Betrag der Impedanz
URMS = I * |Z|   Betrag der eff. Spannung am Ausgang des Netzwerkes
Upk = URMS * √2 = |Z| * √(2*P / R) Dito, Spitzenspannung (Sinuswelle)
SWR = R0 / R (R0 > R) Stehwellenverhältnis = Verhältnis der Wirkwiderstände
R0 = Quellwiderstand des TRX (i.d.R. 50 Ω)
R   = Wirkwiderstand der Antenne
SWR = R / R0

(R > R0)

Rechenbeispiele

Ein Antennensystem habe bei 1,9 MHz die Fußpunktimpedanz (direkt an der Antenne oder am TRX-seitigen Ende des Feeders)

Z = 3 – j610 Vektordiagramm Impedanz

Die Zeichnung gibt die Größenverhältnisse natürlich nicht wieder. Sie soll die Vektoraddition bei komplexen Zahlen veranschaulichen. Ist eigentlich ganz einfach - mit dem Satz des Pythagoras (klingelt da noch was?).

Diese Antenne ist im Vergleich zur Wellenlänge sehr kurz, was sich im kleinen Wirkwiderstand 3Ω ("Strahlungswiderstand") und dem hohen negativen (kapazitiven) Blindwiderstand -610Ω äußert. Außer bei Großgrundbesitzern ist das bei Otto Normal-OM eher die Regel, hier als Extrembeispiel für das 160 m-Band.

SWR = R0 / R = 50 / 3 = 16,7.

Das LC-Netzwerk im Tuner soll den kapazitiven Blindanteil kompensieren und Leistungsanpassung herstellen, so dass die Antenne die zugeführte TRX-Leistung Peff = 100 W über den Strahlungswiderstand R auch abstrahlt.

Der dazu notwendige Strom ist I = √(P / R) = √(100 / 3) = 5,8 Aeff.

Die dazu notwendige effektive Spannung ist URMS = I * |Z| = I * √(R2 + X2) = 3.522 Veff.

Die Spitzenspannung (für Sinuswelle) ist Upk = √2 * URMS = 4.980 Vpk.

Der zur Abstrahlung der HF-Leistung am niedrigen Strahlungswiderstand R erforderliche hohe Antennenstrom und der hohe Blindwiderstand X bewirken diese hohe Spannung (in Worten: knapp fünftausend Volt).

Ergebnis: Bei ungünstigen Antennenimpedanzen (Antenne viel zu kurz) treten erhebliche Ströme und Spitzenspannungen im LC-Netzwerk auf. Das ist gerade bei der Spannungsfestigkeit und beim Verlustwinkel der Kondensatoren zu beachten. Auch ein Wireman-Feeder würde unter diesen Bedingungen schon beginnen abzurauchen. Diese Berechnung berücksichtigt keine Verluste im LC-Netzwerk und im Antennensystem und ist damit eine Abschätzung nach oben.

Besänftigendes Beispiel für das 80m-Band. Gleiche Antenne, Z = 20 + j90, auch 100W TRX-Leistung, sieht dann gleich manierlicher aus:

SWR = R0 / R = 50 / 20 = 2,5.

I = √(P / R) = √(100 / 20) = 2,3 Aeff.

Upk = √(2*P / R) * |Z| = 291 Vpk.

2 Excel-Mappe

Excel sheet

Zum vorgegebenen Quellwiderstand R0 des TRX, i.a. 50 Ω reell, können aus der Antennenimpedanz R (Realteil) und X (Imaginärteil) für jede Frequenz geeignete LC-Kombinationen berechnet werden. Dort, wo je nach L-/C-Kombination

  • sich gleiche Vorzeichen für Xp und Xs ergeben (entweder negative Kapazität oder negative Induktivität)
  • und/oder das Wurzelargument von U (Formeln 3.5) negativ ist,

wird ein "--" angezeigt. Hier gibt es keine physikalisch sinnvolle Lösung. Ansonsten ergibt sich immer mindestens eine realisierbare Variante als Hoch- oder Tiefpass, Parallelreaktanz "vorne" oder "hinten". Wo zwei Möglichkeiten angezeigt werden, ist grundsätzlich die mit großer Kapazität statt mit großer Induktivität wegen der unterschiedlichen Güten zu bevorzugen, falls solche Schaltmöglichkeiten im Tuner möglich sind.

Wo bekommen wir die Antennenimpedanz her? Teure Lösung: etwa mit dem Antennenanalysator FA-VA3 von funkamateur.de. Kostenlose Lösung mit ein wenig Einarbeitung: zum Beispiel Simulation mit MMANA-Gal, siehe "Impedanztransformation mit dem Dipol-Feeder" oder mit 4NEC2, siehe "Anzeige nach BEMFV" auf dieser Website.

Als Testfall wurden die Daten aus smallgarden.ods, Allbanddipol 2x15m, übernommen. Über alles, vom 160 bis zum 10m-Band, ist eine Abstimmung mit den Parallelreaktanzen "hinten", also mit Lowpass 1 und Highpass 1 für den Testfall möglich. Die Varianten mit Parallelreaktanz "vorne", also Lowpass 2 und Highpass 2, gehen bei der Testantenne nur für das 160 und 80m-Band. Ab 7 MHz ist das Wurzelargument von U negativ. Die Ergebnisse wurden mit einem Onlinerechner im Internet überprüft. Sie stimmen.

Als Abfallprodukt wurde die Excel-Mappe im Artikel "Impedanztransformation mit dem Dipol-Feeder" um das hier beschriebene LC-Matching erweitert, siehe dort, Transmissionline_102.xls.

Wer sich mit dem Original smallgarden.ods beschäftigen will, sollte in Sheet1, Spalten R und AB, die Formeln korrigieren. Hier wird für die Berechnung von 2*π*f für f statt Spalte A Spalte B verwendet. In Zelle R7 muss es z.B. "=P7/(2*PI()*A7)" statt "=P7/(2*PI()*B7)" heißen. G3YNH wurde informiert. Er hat inzwischen eine korrigierte .ods-Datei ins Netz gestellt.

Noch ein Nachtrag: Bei symmetrischen (balanced) LC-Filtern mit zwei Serienreaktanzen muss deren Impedanz für gleiches Verhalten halbiert werden, also

  • beim Tiefpass die beiden Serien-L's halbiert,
  • beim Hochpass die beiden Serien-C's verdoppelt werden.

LC balanced

Referenzen (Thank you David for this excellent job.)

[1]  http://www.g3ynh.info/zdocs/z_matcing/part_3.html

Einordung: